CAPITULO II

MARCO TEÓRICO

  2.1.- Didáctica de las Matemáticas

 Propuesta didáctica para el desarrollo de procesos de razonamiento lógico matemático, desde el pensamiento variacional, con los estudiantes de tercero básico del Colegio Champagnat ubicado en Villa Alemana, por medio de estrategias de enseñanza mediadas por los sistemas de gestión de aprendizaje durante el año 2017.

“Pensamiento variacional: Tiene que ver con el reconocimiento, la percepción, la identificación  y la caracterización de la variación y el cambio en diferentes contextos, así como con su descripción, modelación  y representación en distintos sistemas o registros simbólicos, ya sean verbales, icónicos, gráficos o algebraicos”.(Men, 2006, pág. 67)

 

Enseñar, aprender y evaluar en Matemática

La enseñanza de la matemática y sus complejas relaciones con el aprendizaje de la misma constituyen el núcleo de diversas líneas de investigación en Didáctica de la Matemática, cada una de las cuales aporta, desde su perspectiva, a la construcción de la disciplina. El problema de la enseñanza de la matemática no es meramente metodológico sino asociado, entre otros, al carácter complejo de los objetos matemáticos, lo cual lleva a preguntarse, por ejemplo:

¿Cuál es el papel de las “rutinas” en el aprendizaje de las matemáticas?

¿Cómo diferenciar las rutinas de las actividades “creativas”? ¿Qué papel juega o podría jugar la actividad de resolución de problemas en la enseñanza de las matemáticas? ¿Cuál es la relación entre el aprendizaje de la “aritmética”, el “álgebra elemental” y la “geometría”? ¿Qué significa “adquirir el concepto de proporcionalidad”

La escuela constituye una realidad compleja, intervienen muchos elementos; algunos bajo el control de la propia institución escolar, otros del docente, aunque muchos aspectos escapan a su control (programas, horarios, organización, etc).  Dentro de esa realidad compleja, afrontar la enseñanza de las Matemáticas en el nivel de la Educación Infantil es una tarea a la que el docente no puede, ni debe, enfrentarse sin otras herramientas que la mera intuición o, confiando en su arte personal para enseñar.

Según Gascón (1998) es necesario disponer de un modelo del proceso escolar de la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas que contenga las nociones de “rutina matemática”, “actividad matemática creativa”, “resolución de problemas matemáticos”, “enseñanza escolar de las matemáticas”, etc. como nociones construidas en el modelo.

 Es parte del proceso de formación integral de los alumnos y, en su especificidad, como enseñanza de la matemática, participa de los modos de hacer y pensar propios de esta ciencia. En su interacción con el entorno social, la actividad de los matemáticos está ligada a la resolución de problemas del mundo natural, social o matemático, la cual implica la construcción o utilización de modelos que permiten anticipar resultados de acciones cuyas conclusiones se analizan para determinar la correspondencia con las preguntas que originaron el problema.  Adecuar esta forma de trabajo en el colegio es invitar al alumno a entrar en el juego matemático, a producir conocimiento resolviendo problemas, a argumentar la validez de sus procedimientos y resultados, ayudarlo a establecer relaciones para construir una estructura más amplia. (Bronzina, Chemello, Agrasar, 2009)

Es importante y necesario adquirir nuevas estrategias para que el alumno pueda obtener y mejorar sus resultados, ya que de esta forma aprendió que las matemática no sólo son reglas y mecánica, sino que, también permite encantar y la admiración al descubrir las relaciones que se pueden establecer en ella, y entre ésta y otras áreas del saber, Como matemática recreativa.- (Cofré, Tapia, 2002)

 

Al respecto, Bernard Charlot (1986) señala la importancia de comprender la epistemología implícita en las prácticas de su enseñanza: la tesis biogenética y la sociocultural postulan que los conceptos están dados y se trasmiten a los herederos como don natural o como capital sociocultural. Por el contrario, el autor entiende que la matemática no se trasmite, sino que se construye, pues es el resultado de un trabajo de pensamiento que fabrica los conceptos para resolver problemas.

  El procedimiento utilizado, los conocimientos puestos en juego y las relaciones que logra establecer dan cuenta de la forma en que cada alumno está pensando. La tarea debe exigir reflexionar sobre la manera en que la han resuelto, sobre cómo relacionar procedimientos alternativos y cómo lo que ya conocen puede ser usado para representar de una manera nueva el problema. El conjunto de prácticas que despliega un alumno a propósito de un concepto matemático constituirá el sentido de ese concepto para ese alumno. Las aproximaciones a los conocimientos matemáticos serán muy diferentes según los tipos de problemas seleccionados, su secuenciación, los modos de presentación, las interacciones que se promuevan entre los alumnos, las modalidades de intervención docente a lo largo del proceso de enseñanza. El profesor Weinzweg dice que, para ayudar a un niño a desarrollar un concepto, hay que pensar en el contexto del cual surge el concepto, presentar una situación y dejar que el niño empiece a desarrollar el concepto para resolver el problema, a estructurar y organizar sus experiencias.

El docente, para enseñar, realiza el trabajo inverso: una re-contextualización y re-personalización del saber en busca de situaciones que den sentido a los conocimientos (Brousseau, 1986)

La historia de la matemática muestra que su avance obedece a la solución de problemas externos e internos a la propia disciplina ¿resultan contextos igualmente apropiados para el aprendizaje? La concepción instrumentalista de la enseñanza de la matemática considera que esta se justifica por la utilidad que tienen los saberes matemáticos para resolver problemas cotidianos y que estos son la única vía para que los niños encuentren el sentido de la matemática. A partir de las soluciones iniciales e informales que los niños inventan, el docente genera en sus alumnos procesos de matematización progresiva.(Sistema de Evaluación de Aprendizaje, 2014)

 Trabajando en interacción con sus pares, reinventan los objetos, modelos y herramientas matemáticas, a partir de contextos y situaciones susceptibles de ser organizadas matemáticamente. La matematización se da en el eje horizontal (pasaje de la realidad a la matemática) como en el vertical (trabajo dentro de la realidad matemática misma).  (Chamorro, 2005)

Nos queda entonces la interrogante, ¿Cómo puede el docente tener indicios de su presencia en las participaciones de sus alumnos? Prever, observar, registrar, analizar y reflexionar sobre lo acontecido en el aula son estrategias de producción matemática por parte del docente. (Chamorro, 2005)

 

Chamorro, (2005) menciona que; En la resolución de problemas el estudiante ha de mostrar su habilidad de seleccionar las herramientas matemáticas apropiadas y combinarlas en un proceso adecuado de solución. Las propuestas han de ser preparadas según el tipo de tarea y de desempeño matemático que se pide al estudiante y deben discernir entre niveles de respuesta del estudiante. En la evaluación matemática se dificulta decidir qué peso se le dará a la coherencia contextual de las respuestas del estudiante y al dominio de las habilidades. Respecto a la evaluación, David Clark (2006) señala que esta es constructiva cuando valora lo que el estudiante ya sabe hacer y le ayuda a aprender lo que todavía no domina.

En cuanto al error que se puede producir, deja de ser objeto de castigo para considerarse un estado de conocimiento, un aprendizaje a futuro, con la consecuente valoración del sujeto en proceso de aprendizaje. Conocer las herramientas didácticas que ayudan a modelizar la realidad del aula. Identificar los fenómenos didácticos que son propios de la enseñanza de las Matemáticas. Pueden ser algunas de las estrategias a utilizar durante el proceso.

El razonamiento y, en consecuencia, la lógica, se impone como una necesidad para la construcción no solo para la construcción de los conocimientos matemáticos sino de cualquier otro conocimiento. Por ello el profesor debe diseñar, organizar y conducir a sus alumnos a través de situaciones de enseñanza-aprendizaje que les permita evolucionar, desarrollando conocimientos lógicos y superando determinados obstáculos 

Russell, (1988), El razonamiento lógico: El razonamiento es la forma del pensamiento mediante la cual, partiendo de uno o varios juicios verdaderos, denominados premisas, llegamos a una conclusión conforme a ciertas reglas de inferencia. Para Bertrand Russell la lógica y la matemática están tan ligadas que afirma: "la lógica es la juventud de la matemática y la matemática la madurez de la lógica". La referencia al razonamiento lógico se hace desde la dimensión intelectual que es capaz de generar ideas en la estrategia de actuación, ante un determinado desafío. El desarrollo del pensamiento es resultado de la influencia que ejerce en el sujeto la actividad escolar y familiar.

De acuerdo con (Bravo, 2005), en su texto Desarrollo del Pensamiento Matemático en Educación infantil: El pensamiento lógico infantil se enmarca en el aspecto sensomotriz y se desarrolla, principalmente, a través de los sentidos. La multitud de experiencias que el niño realiza -consciente de su percepción sensorial- consigo mismo, en relación con los demás y con los objetos del mundo circundante, transfieren a su mente unos hechos sobre los que elabora una serie de ideas que le sirven para relacionarse con el exterior. Estas ideas se convierten en conocimiento, cuando son contrastadas con otras y nuevas experiencias, al generalizar lo que “es” y lo que “no es”. La interpretación del conocimiento matemático se va consiguiendo a través de experiencias en las que el acto intelectual se construye mediante una dinámica de relaciones, sobre la cantidad y la posición de los objetos en el espacio y en el tiempo.

De acuerdo con (Bravo, 2005), en su texto Desarrollo de Pensamiento Matemático en Educación Infantil: El Pensamiento lógico infantil se enmarca en:

El desarrollo de cuatro capacidades que favorece el pensamiento lógico- matemático:

1) La observación: Se debe potenciar sin imponer la atención del niño a lo que el adulto quiere que mire. La observación se canalizará libremente y respetando la acción del sujeto, mediante juegos cuidadosamente dirigidos a la percepción de propiedades y a la propuesta didáctica relación entre ellas. Esta capacidad de observación se ve aumentada cuando se actúa con gusto y tranquilidad y se ve disminuida cuando existe tensión en el sujeto que realiza la actividad.

 2) La imaginación: Entendida como acción creativa, se potencia con actividades que permiten una pluralidad de alternativas en la acción del sujeto. Ayuda al aprendizaje matemático por la variabilidad de situaciones a las que se transfiere una misma interpretación.

 3) La intuición: Las actividades dirigidas al desarrollo de la intuición no deben provocar técnicas adivinatorias; el decir por decir no desarrolla pensamiento alguno. La arbitrariedad no forma parte de la actuación lógica. El sujeto intuye cuando llega a la verdad sin necesidad de razonamiento. Cierto esto, no significa que se acepte como verdad todo lo que se le ocurra al niño, sino conseguir que se le ocurra todo aquello que se acepta como verdad.

4) El razonamiento lógico: El razonamiento es la forma del pensamiento mediante la cual, partiendo de uno o varios juicios verdaderos, denominados premisas, llegamos a una conclusión conforme a ciertas reglas de inferencia. Para Bertrand Russell la lógica y la matemática están tan ligadas que afirma: "la lógica es la juventud de la matemática y la matemática la madurez de la lógica". La referencia al razonamiento lógico se hace desde la dimensión intelectual que es capaz de generar ideas en la estrategia de actuación, ante un determinado desafío. El desarrollo del pensamiento es resultado de la influencia que ejerce en el sujeto la actividad escolar y familiar.

 Trayendo a colación a Piaget, este habla de tres tipos de conocimientos que debe adquirir el individuo en sus procesos de enseñanza y aprendizaje, los cuales favorecen la capacidad de razonamiento y de la memoria, si se parte de las relaciones, comparaciones y clasificaciones que se dan entre el sujeto y el objeto al momento de interactuar, donde posteriormente dichas características más avanzadas, se transforman en abstracciones y justificaciones. Estos conocimientos son: físico, lógico-matemático y social.

Piaget (1981),  plantea que: El conocimiento lógico-matemático es el que construye el niño al relacionar las experiencias obtenidas en la manipulación de los objetos. Por ejemplo, el niño diferencia entre un objeto de textura áspera con uno de textura lisa y establece que son diferentes. El conocimiento lógico-matemático "surge de una abstracción reflexiva", ya que este conocimiento no es observable y es el niño quien lo construye en su mente a través de las relaciones con los objetos, desarrollándose siempre de lo más simple a lo más complejo, teniendo como particularidad que el conocimiento adquirido una vez procesado no se olvida, ya que la experiencia no proviene de los objetos sino de su acción sobre los mismos. De allí que este conocimiento posea características propias que lo diferencian de otros conocimientos. El pensamiento lógico matemático comprende:

1. Clasificación: constituye una serie de relaciones mentales en función de las cuales los objetos se reúnen por semejanzas, se separan por diferencias, se define la pertenencia del objeto a una clase y se incluyen en ella subclases.

 2. Seriación: Es una operación lógica que a partir de unos sistemas de referencias, permite establecer relaciones comparativas entre los elementos de un conjunto, y ordenarlos según sus diferencias, ya sea en forma decreciente o creciente.

 3. Número: es un concepto lógico de naturaleza distinta al conocimiento físico o social, ya que no se extrae directamente de las propiedades física de los objetos ni de las convenciones sáciela, sino que se construye a través de un proceso de abstracción reflexiva de las relaciones entre los conjuntos que expresan número. Según Piaget, la formación del concepto de número es el resultado de las operaciones lógicas como la clasificación y la seriación.

(Santamaria, Milazzo, & Quintana, M.A., 2004) Del mismo modo, se podría decir que los cinco procesos generales que plantean los Lineamientos Curriculares para toda actividad matemática (Razonamiento, Resolución y planteamiento de problemas, Comunicación, Modelación y Elaboración, Comparación y Ejercitación de procedimientos), apuntan a la evolución de procedimientos lógico-matemáticos, puesto que en ellos interviene la observación, clasificación y análisis de información, la aplicación de estrategias, la resolución de problemas y la argumentación.

 

  

2. 2.- Transposición Didáctica

 Según Chevallard (1998), la Transposición didáctica es todo proyecto social de enseñanza y de aprendizaje que se constituye dialécticamente con la identificación y la designación de contenidos de saberes como contenidos a enseñar.Un contenido de saber que ha sido designado como saber a enseñar, sufre a partir de entonces un conjunto de transformaciones adaptativas que van a hacerlo apto para ocupar un lugar entre los objetos de enseñanza. El “trabajo” que transforma de un objeto de saber a enseñar en un objeto de enseñanza, es denominado la transposición didáctica.

Los contenidos de saberes designados como aquellos a enseñar (explícitamente: en los programas; implícitamente: por la tradición, evolutiva, de la interpretación de los programas), en general preexisten al movimiento que los designa como tales. Sin embargo, algunas veces (y por lo menos más a menudo de lo que se podría creer) son verdaderas creaciones didácticas, suscitadas por las necesidades de la enseñanza.

Un contenido de saber que ha sido designado como saber a enseñar, sufre a partir de entonces un conjunto de transformaciones adaptativas que van a hacerlo apto para ocupar un lugar entre los objetos de enseñanza. El “trabajo” que transforma de un objeto de saber a enseñar en un objeto de enseñanza, es denominado la transposición didáctica.La transformación de un contenido de saber preciso en una versión didáctica de ese objeto de saber puede denominarse más apropiadamente “transposición didáctica stricto sensu”. Pero el estudio científico del proceso de transposición didáctica (que es una dimensión fundamental de la didáctica de las matemáticas) supone tener en cuenta la transposición didáctica sensu lato, representada por el siguiente esquema:



Objeto de enseñanza → Objeto a enseñar →Objeto a saber

Objeto a enseñar

Objeto de saber



Vemos que en el que el primer eslabón marca el paso de lo implícito a lo explícito, de la práctica a la teoría, de lo pre-construido a lo construido.

De acuerdo con Brousseau (1994) muestra con claridad el trabajo de la transposición en las manos del docente, refiriéndose a los saberes del científico expresa que, para comunicarlos, éste “los reorganiza, les da la forma más general posible, realiza una didáctica práctica que consiste en dar al saber una forma comunicable, descontextualizada, despersonalizada saberes” (Brousseau, 1994, p. 46),  es decir, plantea que la comunidad científica produce saberes empleando un lenguaje específico o técnico, resultando en ocasiones difícil de entender o comprender.Se observa entonces que la comunidad científica la conforman especialistas en distintos campos del conocimiento, y se expresan con un vocabulario propio al de su disciplina y con tecnicismos específicos que las interrelacionan, formando así los cuerpos conceptuales de las teorías.El hecho es que se debe contextualizar a los alumnos tratando de llevarlos a su propio conocimiento o realidad experimentada, no algo nuevo ni que deban conocer, sino algo que ellos ya conocen.

En consecuencia, el punto neurálgico en cuestión es que el docente debe presentar una Transposición Didáctica apropiada al contexto del grupo de curso y nivel etario del mismo, pues en esta se correun riesgo mayor de no comprender cuando se realiza una adaptación inapropiada, de tal forma que generara un falso objeto de conocimiento. La transposición didáctica debe ser losuficientemente clara y entendida, para que el alumno no confunda las relaciones existentes entre conocimiento y la lógica científica frente al conocimiento escolar y la lógica didáctica.

Conviene entonces distinguir, según Petitjean (1998), los saberes teóricos a transponer según su necesidad para el maestro o el alumno. De esta forma, para una disciplina como el francés, el concepto de transposición didáctica gana “no limitándose a su versión ‘restringida’ y se amplía, en interacción con los otros conceptos, en la medida en quelos saberes en francés integran saberes diversos, y se inscriben en una lógica de la acción; y están sometidos a los factores aleatorios y tienen siempre una dimensión social”.

 

2. 3.- Situaciones de Aprendizaje

El aprendizaje de las matemáticas es un proceso que requiere de la maestría del docente, quien debe ser un experto en el manejo de conceptos, materiales, pero también de las técnicas necesarias para lograr que este proceso llegue a buen puerto y no se transforme en una pared en los alumnos.

Las altas tasas de fracaso que se constata en el aprendizaje de las Matemáticas están enraizadas en causas de diferente naturaleza; raíces ligadas tanto a la dificultad y abstracción de algunos conceptos matemáticos como a la deficiente enseñanza en la escuela, que tiene mucho que ver con el frecuente desconocimiento de los procesos de aprendizaje de las Matemáticas y de sus técnicas específicas de enseñanza. Por ello se hace necesario que el docente conozca y maneje estas técnicas que se desarrollan en la didáctica de esta disciplina.

El término didáctica hizo su aparición en la obra “Didáctica Magna” de Amos Comenuis, teólogo, filósofo y pedagogo checo considerado el padre de la pedagogía y él se refería a ella como “el arte de enseñar” (Diccionario de la Real Academia Española, 2001)

Sin embargo, la didáctica es también considerada sinónimo de Metodología, o sea es un proceso que implica un modelaje a seguir que entregará las herramientas necesarias para que el aprendizaje de las matemáticas sea más experiencial que un mero proceso memorístico. En Francia en los años setenta, surge una nueva mirada de la didáctica que la lleva nuevamente a la palestra por medio de las investigaciones realizadas por GuyBrousseau, quien la define como una nueva disciplina científica que estudia la comunicación de conocimientos y transformaciones, es decir intenta teorizar sobre la producción y circulación de los saberes, esto llevado a los actores involucrados, los alumnos, los contenidos matemáticos y los agentes educativos.No es posible concebir el proceso de enseñanza-aprendizaje sin sus actores: el alumno, que debe aprender aquello que previamente ha sido establecidosocialmente, según su edad, nivel y tipo de estudios, y que la institución escolartoma como proyecto que va a desarrollar. El saber, en este caso las matemáticas, que deben ser transmitidas comopatrimonio a las nuevas generaciones, el objeto de aprendizaje. Y el profesor, encargado por la sociedad y la institución de llevar a cabo elproyecto de enseñanza, de hacer funcionar todo el sistema.  Actualmente la didáctica si bien, tuvo etapas desde que apareció en el mundo de las matemáticas hoy se le concibe como una ciencia que requiere profesionales con una sólida formación matemática.

A partir de ello que se establecen las situaciones didácticas que predominarán en el proceso de aprendizaje de las matemáticas y que contribuirán a que éste sea más asertivo y efectivo en los alumnos considerando que ellas parten desde la experiencia entre los tres vínculos del proceso. Es necesario partir haciendo referencia a qué es una situación, a partir del trabajo de Brousseau,el que se encuentra fundamentado en las teorías Piagetanas y que correspondería “modelo de interacción de un sujeto con cierto medio que determina un conocimiento dado, como el recurso del que dispone el sujeto para alcanzar o conservar en este medio  un estado favorable” (Brousseau, 2007, p.17), estas situaciones requieren de la adquisición anterior de todos los esquemas y conocimientos necesarios, pero hay otras que ofrecen una posibilidad al sujeto para construir por sí mismo un conocimiento nuevo en un proceso genético. De esta forma alcanzar y conservarlos depende de que las situaciones sean favorecedoras del aprendizaje y mediadas por el docente, pero a partir de ella se generará la construcción de un nuevo conocimiento en el estudiante. Por ello la teoría de las situaciones propone la interacción social entre alumnos, docentes y saberes matemáticos que ocurren en una clase y esto determina que aprenden los alumnos y de qué manera lo aprenden, esto porque son las matemáticas, las ciencias que permiten más tempranamente que el niño piense racionalmente y que a partir de ellas pueda forjar su razón en cuanto a sus relaciones autónomas y sociales.

Diferentes enfoques se le han dado al proceso de aprendizaje bajo la mirada de distintos especialistas, psicólogos, filósofos, todos ellos coincidentes en la importancia de la tendencia natural de los sujetos a adaptarse al medio, por ejemplo, a través de la observación determinar dequé manera afectan los estímulos, a partir de la experiencia no escolar y de experimentos se evidencian  los modos de pensar, comportamiento, estructura y conocimientos matemáticos y considerar al mismo tiempo las influencias medioambientales  y sociales que influyen directamente en el conocimiento del estudiante.

La situación didáctica se planifica en base a actividades problematizadoras, y que para ser resueltas o abordadas implica necesariamente el conocimiento matemático que da sentido a una clase, es decir se hace una triangulación de interacciones entre el profesor, el saber y el alumno, todo contextualizado por el medio.  Sin embargo, dentro de estas situaciones didácticas aparecen momentos denominados situaciones a-didácticas, caracterizada por el trabajo que realiza el alumno interactuando con el problema propuesto o bien discutiéndolo con sus pares, el cual fue preparado por el docente. En esta situación el profesor debe procurar que se llegue a una solución y sino a una aproximación a ella.Según Brousseau, (1986)la  situación a-didáctica designa toda situación que, por una parte no puede ser dominada de manera conveniente sin la puesta en práctica de los conocimientos o del saber que se pretende y que por la otra, sanciona las decisiones que toma el alumno (buenas o malas) sin intervención del maestro en lo concerniente al saber que se pone en juego, es decir el profesor planea la situación didáctica, pero implícitamente existen los momentos a-didácticos en que los alumnos interactúan con el problema, presenten conflictos cognitivos, se propicie la discusión, el debate y se formulen preguntas.

Vale establecer que en una situación didáctica las reglas deben ser establecidas a través de un “contrato didáctico, es decir un acuerdo en que el profesor y el alumno declaran conocer lo que ese espera el uno del otro y el cómo lo llevaran a cabo. Sin embargo, a pesar de haber una situación planeada, la evolución de esta genera cambios en el contrato trayendo consigo nuevas situaciones didácticas y a-didácticas, unas conducentes a otras”. (Vidal, 2009, p.3)

Se han clasificado las situaciones didácticas, en momentos para la aprehensión de un conocimiento.  Por ello, nos referimos a: “Situación de acción en donde el alumno se envía un mensaje a sí mismo mediante los ensayos y errores que hace para resolver el problema.

Situación de formulación en donde el alumno intercambia información con uno o varios interlocutores. El maestro puede ser uno de ellos, los dos pueden ser alumnos o grupos de alumnos.

Y situación de validación en donde el alumno debe justificar la pertinencia y validez de la estrategia puesta en marcha, elaborar la verificación o prueba semántica que justifica el uso del modelo para tratar la situación. La eficacia de cada estrategia depende de la situación precisa, que puede resultar óptima en algunos casos e ineficaz en otros”.(Chavarria, 2006, p.5)

 

 2. 4.- Resolución de Problemas en las Matemáticas

Al hablar de resolución de problemas, nos referimos al proceso a través del cual podemos reconocer las señales que identifican la presencia de una dificultad, anomalía o entorpecimiento del desarrollo normal de una tarea, recolectar la información necesaria para resolver los problemas detectados y escoger e implementar las mejores alternativas de solución, ya sea de manera individual o grupal. La resolución de problemas matemáticos por otro lado, es considerada la parte más esencial de la educación matemática. Mediante la resolución de problemas, los estudiantes experimentan la potencia y utilidad de las matemáticas en el mundo que les rodea. Para resolver problemas no existen fórmulas mágicas; no hay un conjunto de procedimientos o métodos que aplicándolos lleven necesariamente a la resolución del problema (aún en el caso de que tenga solución). Sin duda, una de las actividades fundamentales en Matemáticas es la resolución de problemas. A lo largo de la historia, la aparición de problemas ha provocado que grandes matemáticos dieran con teorías que han supuesto importantes avances, siendo por tanto la resolución de problemas un verdadero motor en el desarrollo de las matemáticas.

Por otro lado, y desde un punto de vista más pedagógico, la resolución de problemas ha sido, es y seguirá siendo un verdadero muro contra el cual muchos hemos chocado. Autores como Pólya o Schoenfeld han obtenido en el estudio de los métodos de resolución de problemas logros significativos que permanecen hasta la actualidad. En base a esto nuestra problemática está fundamentada sobre los estudios de Pólya.

 

“Es ya clásica, y bien conocida, la formulación que hizo Pólya de las cuatro etapas esenciales para la resolución de un problema, que constituyen el punto de arranque de todos los estudios posteriores (entender el problema, configurar un plan, ejecutar el plan y mirar hacia atrás):

Entender el problema: Este primer paso trata de imaginarse el lugar, las personas, los datos, el problema. Para eso, hay que leer bien, replantear el problema con sus propias palabras, reconocer la información que proporciona, hacer gráficos, tablas. A veces se tiene que leer más de una vez.

 Diseñar un plan: En esta etapa se plantean las estrategias posibles para resolver el problema y seleccionar la más adecuada.

Ejecutar el plan: Ya se tiene el plan seleccionado, así que se aplica. Se Resuelve el problema, monitorear todo el proceso de solución.

Examinar la solución: Luego de resolver el problema, revisar el proceso seguido. Cerciorarse si la solución es correcta, si es lógica y si es necesario, analizar otros caminos de solución”(Escalante, 2015, pág. 9)

Este matemático enriqueció a las Matemáticas con un importante legado en la enseñanza de estrategias para resolver problemas En el proceso de aprendizaje de las matemáticas y de acuerdo a lo establecido en las situaciones didácticas que serán las que acerquen de manera óptima al educando al saber mediado por el docente, se requiere de ciertos lineamientos los que fueron establecidos por Pólya, se le ha denominado los diez mandamientos de los profesores de matemáticas:

1)    Interésese en su materia.

2)    Conozca su materia.

3)    Trate de leer las caras de sus estudiantes; trate de ver sus expectativas y dificultades; póngase usted mismo en el lugar de ellos.

4)    Dese cuenta que la mejor manera de aprender algo es descubriéndolo por uno mismo.

5)    De a sus estudiantes no sólo información, sino el conocimiento de cómo hacerlo, promueva actitudes mentales y el hábito del trabajo metódico.

6)    Permítales aprender a conjeturar.

7)    Aprender a comprobar.

8)    Que los rasgos del problema que tiene a la mano pueden ser útiles en la solución de problemas futuros: trate de sacar a flote el patrón general que yace bajo la presente situación concreta.

9)    No muestre todo el secreto a la primera: deje que sus estudiantes hagan sus conjeturas antes; déjelos encontrar por ellos mismos, tanto como sea posible.

10) Sugiérales; no haga que se lo traguen a la fuerza.(Escalante, 2015, p.7-8)

 

2. 5.- Propósitos de la Educación Matemáticas desde las Bases Curriculares

El propósito de la enseñanza de esta asignatura en la educación actual, dentro del paradigma constructivista, propone en matemáticas presentar propuestas didácticas para el aula, mediante éstas, los estudiantes se sentirán motivados a entender matemáticas en su contexto, y aplicarlas a diario, evidenciando que un individuo usa y aplica matemáticas desde que se despierta hasta que se duerme.(Mineduc, 2012)

Una propuesta didáctica es presentar un conjunto de actividades de enseñanza y aprendizaje a los estudiantes en el aula, esta propuesta debe contener un trabajo articulado con todos los elementos del currículo: qué, cómo y cuándo enseñar y evaluar, para ello se deben considerar los contenidos, las actividades de enseñanza aprendizaje, los recursos materiales, organización del tiempo, evaluación y ofrecer además adecuaciones para atender a la diversidad de estudiantes del aula.(Brousseau, 1999).

Además el docente, debe manejar el Marco para la Buena Enseñanza (MBE) y Estándares pedagógicos y disciplinares, estar en posesión de su identidad profesional para que su didáctica tenga el éxito planeado, “un aprendizaje significativo”

Sin duda, hoy al enseñar matemáticas, tenemos disponibles todo el avance de la tecnología, y que precisamente en esta área existen diversas máquinas que realizan los cálculos por las personas, ¿es entonces tan necesario aprender matemáticas?  El comportamiento racional de una sociedad, es decir, su relación tanto con la verdad como con la realidad, no descansa únicamente en las virtudes individuales de las personas, exige una práctica social y una cultura que deben enseñase en la escuela. (Brousseau, 1999).

Para el desarrollo de una propuesta didáctica en la asignatura de matemáticas, es necesario realizar un exhaustivo análisis curricular del curso el cual atenderá. Antes que todo, se debe estudiar las bases curriculares propuestas por el Gobierno de Chile, donde se definen los aprendizajes que deben desarrollar los estudiantes del país en cada nivel escolar, y luego realizar un análisis del programa de estudios del curso, para ver la propuesta de organización didáctica para todo el año escolar con los objetivos de aprendizaje que definen para cada curso.(Mineduc, 2012)

 

BASES  CURRICULARES  PARA 3° AÑO BÁSICO

El gobierno de Chile, por medio del Ministerio de Educación, propone una secuencia didáctica a desarrollar en todos los terceros básicos del país, y sus bases definen los aprendizajes que debería desarrollar un niño y niña que cursa este nivel, para que sea capaz de comprender la realidad, seleccionar estrategias para resolver un problema y desarrollar su pensamiento crítico en la autonomía a la hora de tomar decisiones en su cotidianidad.

Las bases proponen en cada objetivo de aprendizaje desarrollar el pensamiento matemático y para ello es necesario que, en cada clase, se desarrollen las habilidades de: representar, resolver problemas, modelar, argumentar y comunicar;  todas estas habilidades se deben trabajar en los cinco  ejes temáticos que esta asignatura promueve: Números y operaciones; Patrones y Álgebra; Geometría, Medición; Datos y Probabilidades.

Para que cada clase cumpla con el objetivo de aprendizaje, y este sea significativo, se debe incorporar además, objetivos transversales, y desarrollar de forma integrada un conjunto de actitudes, como: Manifestar un estilo de trabajo ordenado y metódico,  abordar de manera flexible y creativa la búsqueda de soluciones a problemas,  manifestar curiosidad e interés por el aprendizaje de las matemáticas, manifestar una actitud positiva frente a sí mismo y sus capacidades, demostrar una actitud de esfuerzo y perseverancia, expresar y escuchar ideas de forma respetuosa.(Mineduc, 2012)

  

2. 6.- Estudio Curricular para 3º Básico

PROGRAMA DE ESTUDIOS 

El propósito de esta asignatura es enriquecer la comprensión de la realidad, facilitar la selección de estrategias para resolver problemas y contribuir al desarrollo del pensamiento crítico y autónomo en todos los estudiantes. (Mineduc, 2012)

UNIDAD  1

Horas asignadas

57 horas pedagógicas

Contenidos

Estrategias de cálculo para entender operaciones de suma y resta con números hasta 1000. Uso de representaciones concretas y pictóricas, tabla de valor posicional.

Propósito

En esta unidad, los estudiantes continúan el trabajo con números hasta 1 000, ampliando el ámbito numérico en las operaciones de 100 a 1 000. El conteo de números hasta mil, la comprensión del sistema decimal y la comprensión de la adición y la sustracción, usando estrategias de cálculo -ya aprendidas y nuevas-, resolviendo y creando problemas de sumas y restas y aplicando el algoritmo de la adición y la sustracción, permite al estudiante desenvolverse con seguridad creciente en las operaciones señaladas. El uso de representaciones concretas y pictóricas, como el material multibase, un libro de 10 "tablas de 100" y software educativo con una ejercitación interactiva, ayudan a la comprensión del sistema decimal. Se introduce el uso de la tabla de valor posicional para estructurar cantidades mayores que 100. Una comprensión íntegra del sistema decimal proporciona la base para componer y descomponer números y aplicar estos conocimientos a las estrategias del cálculo mental y escrito, como también a los algoritmos de la adición y la sustracción.

Conocimientos previos

 

Contar, leer y escribir números del 0 al 100. Descomponer números de 0 al 100. Explicar las relaciones entre la adición y la sustracción ("familia de operaciones"). Vocabulario: igual, desigual, operación inversa, números pares/impares.

 

 

OBJETIVOS DE APRENDIZAJE UNIDAD 1

MA03 OA 01

Contar números del 0 al 1 000 de 5 en 5, de 10 en 10, de 100 en 100: empezando por cualquier número natural menor que 1 000 de 3 en 3, de 4 en 4, empezando por cualquier múltiplo del número correspondiente.

MA03 OA 02

Leer números hasta 1 000 y representarlos en forma concreta, pictórica y simbólica.

MA03 OA 03

Comparar y ordenar números naturales hasta 1 000, utilizando la recta numérica o la tabla posicional de manera manual y/o por medio de software educativo.

MA03 OA 04

Describir y aplicar estrategias de cálculo mental para las adiciones y sustracciones hasta 100: por descomposición; completar hasta la decena más cercana; usar dobles; sumar en vez de restar; aplicar la asociatividad

MA03 OA 07

Demostrar que comprenden la relación entre la adición y la sustracción, usando la "familia de operaciones" en cálculos aritméticos y en la resolución de problemas.

MA03 OA 05

Identificar y describir las unidades, decenas y centenas en números del 0 al 1 000, representando las cantidades de acuerdo a su valor posicional, con material concreto, pictórico y simbólico.

MA03 OA 06

Demostrar que comprenden la adición y la sustracción de números del 0 al 1 000: usando estrategias personales con y sin material concreto; creando y resolviendo problemas de adicción y sustracción que involucren operaciones combinadas, en forma concreta, pictórica y simbólica, de manera manual y/o por medio de software educativo; aplicando los algoritmos con y sin reserva, progresivamente, en la adición de hasta cuatro sumandos y en la sustracción de hasta un sustraendo.

OBJETIVOS DE APRENDIZAJE DE HABILIDADES UNIDAD 1

 

MA03 OAH aResolver problemas: Resolver problemas dados o creados.

 

MA03 OAH bResolver problemas: Emplear diversas estrategias para resolver problemas y alcanzar respuestas adecuadas, como la estrategia de los 4 pasos: entender, planificar, hacer y comprobar.

 

MA03 OAH cResolver problemas: Transferir los procedimientos utilizados en situaciones ya resueltas a problemas similares.

MA03 OAH dArgumentar y comunicar: Formular preguntas para profundizar el conocimiento y la comprensión.

MA03 OAH eArgumentar y comunicar: Descubrir regularidades matemáticas -la estructura de las operaciones inversas, el valor posicional en el sistema decimal, patrones como los múltiplos- y comunicarlas a otros.

MA03 OAH f

Argumentar y comunicar: Hacer deducciones matemáticas de manera concreta.

MA03 OAH g

Argumentar y comunicar: Describir una situación del entorno con una expresión matemática, con una ecuación o con una representación pictórica.

MA03 OAH h

Argumentar y comunicar: Escuchar el razonamiento de otros para enriquecerse y para corregir errores.

MA03 OAH i

Modelar: Aplicar, seleccionar y evaluar modelos que involucren las cuatro operaciones y la ubicación en la recta numérica y en el plano.

MA03 OAH j

Modelar: Expresar, a partir de representaciones pictóricas y explicaciones dadas, acciones y situaciones cotidianas en lenguaje matemático.

MA03 OAH k

Modelar: Identificar regularidades en expresiones numéricas y geométricas.

MA03 OAH l

Representar: Utilizar formas de representación adecuadas, como esquemas y tablas, con un lenguaje técnico específico y con los símbolos matemáticos correctos.

MA03 OAH m

Representar: Crear un problema real a partir de una expresión matemática, una ecuación o una representación.

MA03 OAH n

Representar: Transferir una situación de un nivel de representación a otro (por ejemplo: de lo concreto a lo pictórico y de lo pictórico a lo simbólico, y viceversa).

 OBJETIVOS DE APRENDIZAJE DE ACTITUDES UNIDAD 1

MA03 OAA B

Abordar de manera flexible y creativa la búsqueda de soluciones a problemas.

MA03 OAA C

Manifestar curiosidad e interés por el aprendizaje de las matemáticas.

MA03 OAA D

Manifestar una actitud positiva frente a sí mismo y sus capacidades.


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